Hegel, Marx en ... Gödel

De Litouwse logicus en wiskundige Karlis Podnieks publiceert op zijn website een kort artikel Marx, Hegel and Goedel's Theorem waarin hij beweert dat Gödels 1ste onvolledigheidsstelling de marxistische en hegeliaanse dialectische visie op de werkelijkheid ondersteunt.

Hij beschrijft de dialectiek als een heuristisch principe om problemen op te lossen als volgt:

It recommends a specific (or universal?) way of solving problems: always search for contradictions and opposing forces involved.

Dergelijk heuristisch principe, is gebaseerd op de veronderstelling dat de werkelijkheid ook dialectisch in elkaar steekt. Dit ontologisch principe formuleert hij als volgt:

no fixed complicated schema or system can exist unchanged for a long time. Someday, inevitably, it will be blown up by its inherent opposing forces.

Op het eerste zicht lijkt me dit een vrij dubieuze formulering van het ontologische principe dat aan de dialectiek ten grondslag ligt. Zowel Hegel als Marx zouden ontkennen dat elk systeem per definitie onderhevig is aan dit principe: zowel bij Marx als bij Hegel kan de gedachte teruggevonden worden dat er een einde komt aan het dialectisch proces (bij Hegel in de Pruisische staat van de 18de eeuw, bij Marx in het communisme).

Maar wat heeft dit alles nu te maken met de stelling van Gödel? Podnieks formuleert het verband tussen dialectiek en de stelling van Gödel als volgt:

Goedel's incompleteness theorem seems to be an evidence in favor of this hypothesis. Indeed, as a pure mathematical result, this theorem says that no formal theory can be simultaneously powerful, consistent, and complete. Are formal theories an adequate model of fixed, self-contained systems of reasoning? If yes, we arrive to the following "dialectical" conclusion: no fixed, self-contained system of reasoning can be 100% perfect. Such systems are inevitably either very restricted in power (i.e. they cannot express the notion of natural numbers with induction principle), or they are powerful enough, but then they lead inevitably either to contradictions, or to undecidable propositions.

Merk op dat de stelling van Gödel hier wordt geformuleerd als een epistemologische stelling. Podnieks spreekt immers over een systems of reasoning. Als de stelling van Gödel dergelijke epistemologische lezing krijgt, is het echter moeilijk in te zien hoe ze een ontologisch stelling kan ondersteunen. Het blijft ook mysterieus in hoeverre de conclusie dat geen enkel kennissysteem 100% perfect is, een dialectische conclusie is. De imperfectie kan erin bestaan dat het systeem onvolledig is, maar hoeft niet noodzakelijk te betekenen dat het contradicties oplevert. Hoe dergelijk systeem dialectisch kan worden genoemd blijft duister. En ook al levert het contradicties op, wat er dan dialectisch aan is, blijft ook onduidelijk. Immers, als het systeem contradicties oplevert, dan is het immers in staat om elke uitspraak te bewijzen of genereren. Het systeem wordt dan triviaal.

Het lijkt me dat Podnieks verband tussen dialectiek en onvolledigheid enkel en alleen berust op het feit dat in beiden de term "contradictie" voorkomt. Maar het minste wat men kan zeggen is dat in deze beide gebieden de term contradictie toch een andere betekenis krijgt (om maar een verschilpunt te noemen: in de dialectiek ontvouwen contradicties zich in de tijd; in de contradictorische logicische systemen zijn de contradicties statisch).

Conlusie van dit alles: als wiskundigen aan het filosoferen slaan over de betekenis van wiskundige stellingen kan je maar beter op je hoede zijn (present company not excluded - wat dit bericht een zekere zin zelfreferend maakt - wat uiteraard een pluspunt is aangezien het onderwerp de stelling van Gödel is - en dus met dubbel wantrouwen moet worden gelezen).

PS: Podnieks' tekst waarin hij de stelling van Gödel uitlegt en bewijst, is zeer de moeite waard.